实数、超实数和博弈游戏：数学的结构之美
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（一）一个博弈游戏
让我们来玩一个游戏。下面有五行石子，白色的石子都是我的，黑色的石子都是你的。我们轮流拿走一个自己的石子，并且规定如果一个石子被拿走了，它后面的所有石子都要被扔掉。谁先没有拿的了，谁就输了。
○●●○●●○●●○
●○○●○●●○●
○○○○
●●●○●●●
●
比如说，如果你先走的话，你可以把第四行的第三个石子拿走，按规定第四行将会只剩下前面两个石子：
○●●○●●○●●○
●○○●○●●○●
○○○○
●●
●
现在轮到我走了。我可以拿走第二行倒数第二个石子，于是整个棋局变成了这样：
○●●○●●○●●○
●○○●○●●
○○○○
●●
●
现在，假如说你拿走了第二行中的第一个石子（于是第二行就没了），那么我就赢定了。我可以拿走第一行中的第一个石子，从而让整个棋局只剩下后面三行：
○○○○
●●
●
这三行中有四个白石子，有三个黑石子，并且每一行都是同种石子。于是整个局面完全变成了一个拼石子个数的游戏，我只需要一个一个地拿走白色石子，你必然将会率先无路可走。受此启发，我们自然地想到了一种刻画棋局的方式：把每个白色石子记作 +1 ，把每个黑色石子记作 -1 。于是 ○○○○ + ●● + ● = 4 – 2 – 1 = 1 ，结果是一个正数，这就表明该局面下我将必胜，即使此时轮到我先走。
你会发现上面的说法很有道理。毕竟白色的石子越多，对我越有利，给我带来的效用为正；而黑色的石子会减小我获胜的希望，当然应该给它赋上一个负的值。四白三黑算出来的结果为正 1 ，直观意义就是我能以一步的优势获胜。如果棋局是这样：
○○●●●●
那么 ○○ + ●●●● = 2 – 4 = -2 ，是一个负数，这就意味着不管谁先走，你都能必胜，因为你能比我多走两步。我们不妨把一个棋局对应的数叫做棋局的“特征值”。特征值为正，就表明不管谁先走我都能必胜；特征值为负，就表明不管谁先走你都能必胜；而特征值的绝对值，则直观地量化了胜负的悬殊。现在，考虑下面这个棋局：
○○●●
那么 ○○ + ●● = 2 – 2 = 0 ，这表明此时的情形介于“我必胜”和“你必胜”之间。事实上也是这样——如果我先走你后走，你就赢定了；如果你先走我后走，我就赢定了。这是因为，这个棋局的特征值为 0 ，双方能够走的步数相同，当然谁后走谁就赢定了。
真正有趣的事情出现了。考虑下面的棋局：
○●
它的特征值应该是多少呢？容易看出，它的特征值是一个正数，因为不管谁先走，显然我都能赢。同时，它的特征值也应该比 1 小，因为只有一个 ○ 要比 ○● 赢得更爽一些。事实上，单看 ○● 黑方确实无论如何都会输，但在某些场合下， ○ 后面的这个 ● 能让黑方喘上一口气。比如下面这个棋局：
○●●
如果我先走，显然你必胜无疑。如果你先走呢？先走的人获胜的难度更大，你可要好好想想策略。你可以拿走那个单独成行的 ● ，但当我拿走 ○ 之后，你就得眼睁睁地看着自己剩下的那个 ● 被一并收走。此时，你或许会意识到，你本来还能多走一步的，可惜这一步被浪费掉了。因此，你更好的做法就是，一上来先拿走 ○ 后面的 ● 。运用这种策略，显然你也会必胜无疑。可见，不管是我先走还是你先走，整个棋局对于你来说都是必胜的，从而有 ○● + ● = ○● – 1 < 0 ，这再次说明了 ○● 是一个小于 1 的数。那么， ○● 是否等于 1/2 呢？ 答案是肯定的，考虑下面这个棋局：
○●
○●
●
如果我先走，本质上不同的走法只有一种，并且局面将会立即变成刚才那种你必胜的情形，因而你将必胜。如果是你先走呢？拿走那个单独成行的 ● 会让你提前锁定败局，更好的选择则是像刚才一样，先拿走某个 ○ 后面的 ● ，为自己多赢得一步。现在，石子只剩下了 ○● 、 ○ 、 ● 这么三行。那么，我应该拿走哪一个 ○ 呢？拿走那个单独成行的 ○ 会让局面再次变回刚才那种你必胜的情形，更好的选择则是拿走后面有 ● 的 ○ ，这样我便能让你损失一步。掌握了这个技巧后，我就能做到必胜了。综上所述，整个棋局是一个谁后走谁就赢定了的局面。于是 ○● + ○● + ● = 0，也就是 ○● + ○● – 1 = 0 ，可以解得 ○● 等于 1/2 。也就是说，在 ○● 中，我将以半步的优势获胜。对应地， ●○ 就等于 -1/2 ，此时你将以半步的优势获胜。
注意，目前并没有任何理论告诉我们，这么加减是合理的。不过我们却发现，这么加减出来的结果真的是对的。比如说， ○● + ○● + ○● + ● = 1/2 + 1/2 + 1/2 – 1 = 1/2，而棋局
○●
○●
○●
●
对于我来说真的就是必胜的局面！
这背后一定有一个更深层次的原因：棋局之间的加减和数与数之间的加减一定存在着某些共通的地方。也就是说，为了解释“为什么棋局的加法和数的加法如此之像”，我们需要证明，两者具有完全相同的代数结构。我们需要建立一个从棋局到实数的映射法则，然后说明全体棋局（或者全体棋局的一部分）与全体实数（或者全体实数的一部分）是同构的。
正如 Poincaré 所说，诗歌的艺术在于给相同的东西取不同的名字，数学的艺术在于给不同的东西取相同的名字。两个看似毫不相关的东西竟然是同构的，这在数学中是最令人激动的事情之一。
（二）熟悉而又陌生的算术
为了说明棋局就是算术，我们首先要定义，什么是算术。我们需要站在系统之外，对算术的本质做一个描述。算术，就是对一些数做加减乘除的运算。这似乎对我们完全没有帮助——什么是数，什么是加减乘除？其实，数，就是一些具有大小关系的元素，这些元素可以按照它们的大小关系串成一根链条。这意味着，首先，任意两个数都是可以比较大小的，并且对于两个不同的数 x 和 y 来说， x 要么大于 y ，要么小于 y 。然后，大小关系必须具有传递性，如果 x 小于 y ， y 又小于 z ，那么 x 一定小于 z 。形式化地说，我们要求元素之间存在某种暂且记作 ≤ 的关系，使得它们满足：
完全性：对于任意的 x 和 y ，x ≤ y 和 y ≤ x 当中至少有一个成立。
反对称性：对于任意的 x 和 y ，如果 x ≤ y 和 y ≤ x 同时成立，那么 x 和 y 一定是同一个元素。（今后我们用符号 x = y 表示 x 和 y 是同一个元素，注意这个新符号和 ≤ 的区别：前者是一个真实的符号，它用来表达“是同一个元素”这个概念；后者则是我们假想的一种抽象符号，它不见得有什么具体的意义。）
传递性：对于任意的 x 、 y 和 z ，如果 x ≤ y 和 y ≤ z 同时成立，那么一定有 x ≤ z。
这样的话，所有的元素都被 ≤ 穿成了一条绳子。我们就说，这些元素构成了一个“全序关系”。
我们还需要元素之间的“加法”和“乘法”满足一系列的性质：
对加法封闭：对于任意的 x 和 y ， x + y 也仍然是某一个元素
对乘法封闭：对于任意的 x 和 y ， x · y 也仍然是某一个元素
加法交换律：对于任意的 x 和 y ， x + y = y + x
乘法交换律：对于任意的 x 和 y ， x · y = y · x
加法结合律：对于任意的 x 、 y 和 z ， (x + y) + z = x + (y + z)
乘法结合律：对于任意的 x 、 y 和 z ， (x · y) · z = x · (y · z)
乘法对加法的分配律：对于任意的 x 、 y 和 z ， x · (y + z) = x · y + x · z
存在加法单位：存在某一个特殊的元素，通常记作 0 ，使得对于任意的 x ，都有 x + 0 = x
存在乘法单位：存在某一个特殊的元素，通常记作 1 ，使得对于任意的 x ，都有 x · 1 = x
存在加法逆元：对于任意的 x ，总能找到某一个特殊的元素，通常记作 -x ，使得 x + (-x) = 0
存在乘法逆元：对于任意不为 0 的 x ，总能找到某一个特殊的元素，通常记作 x-1 ，使得 x · x-1 = 1
对于任意的 x 、 y 和 z ，如果 x ≤ y ，那么一定有 x + z ≤ y + z
对于任意的 x 、 y ，如果 0 ≤ x 和 0 ≤ y 同时成立，那么一定有 0 ≤ x · y
有几点需要注意。我们虽然只说了加法单位满足 x + 0 等于 x ，但其实由于加法交换律， 0 + x 也等于 x 。乘法单位也是如此。我们说“存在加法单位”，而没说“存在唯一的加法单位”，这是因为加法单位最多只能有一个，如果存在，必定唯一。假如 a 和 b 是两个加法单位的话，你会发现因为 a 是加法单位，所以 a + b 等于 b ，又因为 b 是加法单位，所以 a + b 等于 a ，因而 a = b 。我们说“存在加法逆元”，而没说“存在唯一的加法逆元”，也是因为同一个元素的加法逆元最多只能有一个，如果存在，必定唯一。假设 a 有两个加法逆元 b 和 c ，那么就有 b = b + 0 = b + (a + c) = (b + a) + c = 0 + c = c ，因此 b 其实就是 c 。乘法单位和乘法逆元也是如此。
这基本上刻画出了作为一个算术系统所有需要满足的性质。第 4 条和第 5 条告诉了我们，加法和乘法并没有那么玄妙，它们不过是从元素对到元素的映射。第 6 条到第 10 条列举了加法和乘法的基本性质。第 11 条和第 12 条定义了 0 和 1 这两个特殊的数。第 13 条中出现了“加法逆元”一词，不过“相反数”一词或许会更亲切一些。第 14 条中出现了“乘法逆元”一词，不过“倒数”一词或许也会更亲切一些。第 13 条和第 14 条实际上定义了减法和除法。减去 x ，就相当于加上 -x ；除以 x ，就相当于乘以 x-1 。这两条性质保证了，我们可以自由地做减法，我们可以自由地做除法，得到的数也仍然是一个合法的元素，不会出现不够减、不允许减、不够除、不允许除的情况（除以 0 除外）。因为，每一个元素都有相反数，每一个非 0 元素都有倒数。
等等，这些性质就能刻画算术系统了？似乎漏掉了不少其他关键的性质吧。比如， 0 乘以任何数都等于 0 ，这条性质哪儿去了？其实，剩下的没有写出的性质，包括 (-1) · x = -x 、 0 ≤ 1 、 0 ≤ x · x 等等，都是已有性质的推论。我们可以从已有性质出发，完全不关心它们的实际意义，抽象地证明出算术系统应该具有的其他性质。例如，为了证明 0 · x = 0 ，只需要注意到：
0 · x = (0 + 0) · x = 0 · x + 0 · x
两边同时加上 0 · x 的加法逆元，等式仍然成立（这是因为，如果 a = b ，那么加法运算将会把 a + c 和 b + c 映射到同一个数）：
0 · x + (- 0 · x) = (0 · x + 0 · x) + (- 0 · x)
0 = 0 · x + (0 · x + (- 0 · x))
0 = 0 · x + 0
0 = 0 · x
同时满足第 4 条到第 14 条的话，这些元素就构成了一个“域”。如果还满足第 15 条和第 16 条（当然还有第 1 条到第 3 条），这就是一个“有序域”。最小的有序域是有理数域。如果把上面所说的元素想成是全体有理数，把小于等于、加法和乘法解读为我们平常所说的小于等于、加法和乘法，那么整个系统满足上面所有 16 条性质。实数域则是一个更“大”的有序域，而有理数域只是它的其中一个“子有序域”。当然，还有一些有序域，它里面的元素根本不是常规意义上的数，它们之间的大小关系、加法乘法也根本不是常规意义上的大小关系和加法乘法。不过，人们已经证明了，任何一个有序域里一定都包含有一个子有序域，它和有理数域同构——它里面的一切都和有理数一样，只是各个元素的名字不一样罢了。也就是说，在任何一个有序域中，我们都可以从加法单位和乘法单位出发，把全部的或者部分的、本来有可能并不是数的元素看成是一个个的数，得到一个与有理数等价的系统：加法单位就是 0 ，乘法单位就是 1 ，等于 1 + 1 的那个元素就是 2 ， 等于 2 + 1 的那个元素就是 3 ， 2 的加法逆元就是 -2 ， 2 的乘法逆元就是 1/2 ，等等，而且这些元素确实是不同的元素，它们之间的小于等于、加法乘法的运算结果也确实符合有理数之间的运算结果。正因为这样，我们才说，这 16 个有序域条件比较完整地描述了算术系统的要素，足以刻画算术系统了。
这里，我们突然有了一个非常激动人心的问题：一个有序域有没有可能比实数域更大（实数域只和它的某个子有序域同构）？有理数域已经封闭了，但加进去一系列新的元素之后，我们有可能得到一个封闭的、更大的实数域；那么，能否在实数域里面也加进去一些新的元素，让实数域进一步扩张成某个更大的有序域？不不不，答案没有“复数域”那么简单——复数域不是有序域，因为它不是有序的。也就是说，我们无法为所有复数安排 ≤ 关系，使得它能满足有序域的全部条件。在这个比实数域更大的有序域中，我们不但能继续加减乘除，还要能继续做大小比较，每一个新的数和每一个原有的实数之间都有一个确定的大小关系。直观上，这似乎是不大可能的，因为实数已经把那根“线”填满了。
注：故事还没结束，（三）外星人的数学、（四）并行的棋局 后续故事下回分解！
via：Matrix67
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