李政道教授考过科大少年班同学的趣题：5只猴子分椰子的难题

1979年春，著名美籍华裔物理学家李政道教授，在访问中国科技大学时，向科大少年班的同学们提出了一个有趣的问题：

“海滩上有一堆椰子，这是5只猴子的共同财产，它们要平均分配。第一只猴子来了，它把椰子分为相等的5堆，分完还剩一个，顺手扔到海里，自己拿走一堆。第二只猴子来了，不知道刚才发生的事情，也把椰子分为5堆，多一个扔进海里，自己拿走一堆。以后每只猴子来了，都是类似情形照此办理。问：原来至少有多少椰子？最后至少有多少椰子？

【解题】设原来有x个椰子，最后剩下y个椰子。据题意可列不定方程：

这个方程比较复杂，因为只有一个方程，而未知数有两个，未知数比方程多，所以叫不定方程。因为有5只猴子，所以括号有5层，解方程比较复杂。下面请看微软数学的解答过程：解法是从最里面的小括号开始，一层一层地去括号，整理后得到最终的不定方程。

方程和步骤1

步骤2

步骤3

步骤4

方程两边同乘以3125去分母，可得

1024x=3125y+8404

移项后得到不定方程

1024x-3125y=8404

注意观察，我们发现系数3125-1024=2104，2104×4=8404，于是知道了

x=-4，y=-4是方程的一个特解。

现在介绍一个关于二元一次不定方程的知识点。

一般的二元一次方程不一定会有整数解，不过，如果我们知道了整系数方程ax+by=c（a，b互质）的一个解x0=p，y0=q，（0是下标），那么我们就能知道它的全部整数解。

已知不定方程一个解，就知道了其全部的整数解

用这个公式解不定方程，可得方程所有的整数解是：

猴子分椰子难题的答案

上式当k= ﹣1时，得到最小的正数x=3121及最小的正数y=1020。这就是李政道教授所提问题的答案。

李政道教授还谈到了著名的英国理论物理学家狄拉克的巧妙解法。狄拉克的结论简洁得让人惊奇！狄拉克的答案是：如果题目中有5只猴子，则有

狄拉克的答案

上面说的是常规方法，比较复杂和过程繁琐。狄拉克的思路是怎样的呢？他的思考过程如下：

英国物理学家保罗·狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902年8月8日－1984年10月20日）

如果借给猴子4个椰子，会是什么情况呢？第一只猴子来了，把椰子分为5堆，恰好分尽。于是它拿走一堆。这一堆比原来的多一个，与原来扔进大海的一个抵消了，所以此时剩下的椰子仍然比原来多4个。

后来的每一只猴子，都是类似的情况。都能够分为5堆，恰好分得尽。同样，剩下的椰子也比原来多4个。这就是说，借给猴子4个椰子后，海滩上的椰子数在连续5次乘以分数5分之4以后，仍然是整数。所以它至少应为5⁵，即原来至少有椰子数为：5⁵ -4=3121 （个），而最后至少有

4⁵ -4=1020（个）椰子。

狄拉克的解答简单而又精巧，化繁为简，精彩至极！阿拉伯人分骆驼的难题也是靠一借一还来解决的。现在我们对-4，对负数又有了更深刻的认识。我们在赞叹的时候，也许会有点惋惜，我怎么没有想到呢？