曼哈顿距离

我们都知道一个事实，已知两点坐标A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 )则AB的距离为

但是，我发现一个问题，在北京打的，北京的街道几乎都是南北走向或者东西走向，极少斜着的岔路。

下面是一张北京地图。

（北京，以故宫为中轴线，向两侧延展）

那么如果在北京打出租车，两点间的距离似乎就不能用上面的公式计算了，除非北京出租车能够像重庆那样穿插到大楼中去。

于是，在北京乘出租车的距离，就应该是这个公式计算

这个距离当然不是只在北京有，最早被用于曼哈顿，因此被称为曼哈顿距离，发现它的爸爸是数学家赫尔曼⋅闵科夫斯基。

也有称起为出租车距离的，不过我觉得，出租车距离显然不如曼哈顿距离大气，还是叫曼哈顿距离比较爽。

既然叫距离，它也应该满足我们对距离的一般要求。

首先，距离必须非负。d(A,B)≥0显然成立

其次，距离必须满足“到自身的距离为0”。d(A,A)=0当然成立

第三，距离必须满足三角不等式，即“三角形两边之和大于第三边”。

即d(A,B)≤d(A,C)+d(B,C)

证明不难：

设A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ),C(x3 ,y3 )则

d(A,B)=|x1 −x2 |+|y1 −y2 |

d(A,C)=|x1 −x3 |+|y1 −y3 |

d(B,C)=|x2 −x3 |+|y2 −y3 |

由绝对值不等式得

|x1 −x3 |+|x2 −x3 |≥|x1 −x3 |

|y1 −y3 |+|y2 −y3 |≥|y1 −y3 |

两式相加即得d(A,C)+d(B,C)≥d(A,B)

曼哈顿街区

曼哈顿圆

既然定义了曼哈顿距离，我们就可以顺便把曼哈顿圆定义了。

到定点的距离等于定长的点的轨迹，叫圆。

推广一下

到定点的曼哈顿距离等于定长的点的轨迹，叫曼哈顿圆。定长是不是可以叫曼哈顿半径，定点是不是可以叫曼哈顿圆心？哈哈，我不知道

显然，如果定点为原点，半径为1的曼哈顿圆方程就是|x|+|y|=1，它的轨迹实际上是一个斜的正方形，如图。

如果定点为A(x0 ,y0 )，半径为r的曼哈顿圆方程就是|x−x0 |+|y−y0 |=r，它的轨迹实际上是一个以A为中心的斜正方形，如图。

突然想起来，我们可以拿这个东西搞一点好玩的高考题。

例如已知2x+y=4，求|x|+|y|的最小值

(此时可不可以认为曼哈顿圆与直线相切？)

很好玩吧。

有兴趣的朋友试试这个题。