最优美的螺线—欧拉螺线

——奇妙有趣的几何之曲线曲面系列9

欧拉螺线也叫羊角螺线和回旋曲线。该曲线开始于原点，以零曲率零斜率向两边延伸，曲率随着其曲线的长度增长而增长，最后曲线收敛于两个镜像点或以这两个镜像点为圆心的圆。
它被美国著名微分几何学家Alfred Gray称为“最优美的平面曲线之一”。这个螺线美丽而又非常实用。它广泛应用于衍射计算并且在铁路和高速公路工程的弯道技术中起重要作用。这种精准流畅的曲线，叫做“缓和曲线”常称为“柯奴螺线”，即为欧拉螺线。它是一种由曲率和弧长的线性关系定义的形状。

欧拉螺线看上去是S形的，在“S”的两端会继续向内弯曲形成迅速收紧的螺旋形。所以，曲线的各个部分可以匹配各种各样的形状，无论是直的还是S形的，曲率增加的或曲率减小的。 在直线与圆曲线，圆曲线与圆曲线之间设置的曲率连续变化的曲线。可见公路、轮滑轨道，都需要借助缓和曲线哦！

老鼠脸上的胡须的长度和形状各异，是超级敏感且可移动的毛发。凭借这些毛发，老鼠可以探索和感知周围的环境。在最近的研究发现了老鼠非常敏锐的秘密，要归因于隐藏在它们胡须中的数学。
实验研究发现每根胡须都有不同的长度和形状。即使这些胡须形状各异，但都可以用一个简单的数学方程来准确描述，那就是欧拉螺旋线。

丰富多彩的自然界背后充满了数学模式，从数学的角度可以去了解生物结构和生物系统是如何工作的。除此之外，在解决如何将平面地图投射到地球仪上，以及改进微波操作等方面，也都离不开这种美丽的曲线。

欧拉螺线之所以以数学家欧拉（1707~1783）的名字命名，并不是因为欧拉发现了这个 螺线，而是因为欧拉彻底解决了这个螺线的数学问题。这个曲线最早在1694年由詹姆士·贝努利从一个弹性力学问题提出，他写出了这个曲线的近似方程，但并没有解出来，也没有准确地画出来，甚至没有任何数值计算。也许他并没有把这个结果当回事，这个工作也没有发表。直到1744年，他的侄子尼克拉斯I.伯努利将其整理后发表。同年，欧拉写出了曲线准确的方程，即这个曲线的参数形式是以菲涅耳积分表达，欧拉还得到其展开式。37年后的1781 年，欧拉利用巧妙地积分变换，找到了曲线的极限点，即将相关的无穷菲涅耳积分地收敛点算出。不仅如此，如果用这个曲线的x 和y 的参数表达式分别作为一个复变函数的实部和虚部，还可以得到很多著名的函数。

此后，在1818年，法国物理学家奥古斯汀·菲涅尔想要计算光通过狭缝的衍射模式独立地推导出了欧拉螺线；在1890年，美国土木工程师阿瑟·塔尔博特需要计算出可以完美连接直线轨道和曲线轨道的过渡铁轨的理想形状，以使火车的行进更加顺畅，再次发现了这一点。
这么有意思的数学曲线的人文哲学含义：两队红色和灰色的鱼沿着欧拉曲线相向而游，分别从欧拉曲线的一个极限点旋转游出，由小变大，进入另一个漩区后，再由大变小，旋转地游向另一个极限点。寓意着不同世界的人擦肩而行，方向却是相反，分别奔向另一方的出发点。
欧拉螺线 Cornu 螺线 是形式为
x = C(t)
y = S(t)
的曲线。 其中 C(t)、S(t) 为 Fresnel 函数。
S(x)=∫(x,0)sint^2dt=∑(正无穷,n=0)(-1)^n*x^(4n+3)/((4n+3)(2n+1)!)
C(x)=∫(x,0)cost^2dt=∑(正无穷,n=0)(-1)^n*x^(4n+1)/((4n+1)(2n)!)
上面参数方程的参数t，也是螺线于该点的曲率:κ(t) = t。两个螺线的中心位于土(√π/2,√π/2),在光学上，近场绕射(Fresnel绕射)中会应用Fresnel积分。

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