#头条创作挑战赛#

分形已经为人所知一个世纪，研究得很好，在生活中有许多应用。然而，这种现象的核心是一个非常简单的想法：只需借助两个操作 - 复制和缩放 - 就可以从相对简单的结构中获得无限的美感和多样性的图形集。

一棵树、一条海岸、一朵云或血管在我们手中有什么共同点？乍一看，似乎没有任何东西将所有这些物体联合起来。然而，事实上，所有这些对象都有一个固有的结构属性：它们是自相似的。从树枝，以及从树干，较小的过程离开，从它们 - 甚至更小，等等，也就是说，树枝就像整棵树一样。在这一点上，它们类似于最美丽的数学对象之一——分形。

以类似的方式，循环系统被安排：小动脉离开动脉，并且从它们 - 氧气进入器官和组织的最小毛细血管。让我们看看海岸的卫星图像：我们将看到海湾和半岛;让我们看看它，但从鸟瞰图：我们将看到海湾和海角;现在想象一下，我们站在沙滩上，看着我们的脚：总会有鹅卵石比其他鹅卵石更进水。也就是说，规模越来越大的海岸线仍然与自身相似。物体的这种性质被美国人（尽管他在法国长大）数学家Benoit Mandelbrot称为分形，这种物体本身被称为分形（来自拉丁语分形 - 破碎）。

什么是分形？

如果你看很多分形，你可以看到它们有很多不同之处。这些差异不仅在构成分形的图形的形状上观察到，而且在这些集合的表示形式上也观察到。因此，几何、代数和随机分形是有区别的。让我们更详细地讨论它们中的每一个。

几何分形

这是我们最熟悉的分形类型。它们基于任何几何图形构建，通过分割其部分并对其进行转换。示例包括 L 系统。它们最初设计用于模拟生物细胞系统，但也可以应用于其他分支系统。

毕达哥拉斯树是几何分形最简单的例子之一

代数分形

代数分形是在数学公式的基础上构建的 - 如果在坐标平面上构建图形，它们可以转换为几何公式。代数分形包括曼德布洛特分形，朱莉娅和牛顿盆地。它们都建立在一组复数上，复数由实数和虚部组成。只是曼德布洛特和茱莉亚的分形是建立在复数平方的基础上的，而牛顿盆地是建立在立方体的基础上的。

这就是牛顿池的样子——分形建立在许多复数立方体上

随机分形

这种分形是在数学公式的基础上构建的，但在构造过程中，其中的参数是随机变化的。这导致奇异形式的出现，与自然形式非常相似。与几何和一些代数不同，随机分形只能使用计算机构造。

随机分形的插图。如您所见，它们可能是不对称的，非常奇怪。

几何和代数

在十九世纪和二十世纪之交，对分形的研究更多的是偶发性的，而不是系统的，因为早期的数学家主要研究可以使用一般方法和理论研究的“好”物体。1872年，德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）建立了一个连续函数的例子，这个函数在任何地方都是可微的。然而，它的构造完全是抽象的，难以理解。因此，在1904年，瑞典人Helge von Koch提出了一条在任何地方都没有切线的连续曲线，并且很容易绘制。事实证明，它具有分形的性质。这条曲线的一个变体被称为“科赫雪花”。

什么是分形？

这个概念没有严格的定义。因此，“分形”这个词不是一个数学术语。通常，分形是满足以下一个或多个属性的几何图形： • 在任何缩放时都具有复杂的结构（例如，与直线不同，其任何部分都是最简单的几何图形 - 线段）。• （大约）自相似。• 具有大于拓扑维数的分数豪斯多夫（分形）维数。• 可以通过递归过程构建。

人物自相似性的想法被法国人保罗·皮埃尔·利维（Paul Pierre Levy）所接受，他是贝努瓦·曼德布洛特的未来导师。1938年，他的文章“平面和空间曲线以及由整体状部分组成的表面”发表，其中描述了另一个分形，Levy C曲线。上述所有这些分形都可以有条件地归因于一类建设性（几何）分形。

许多自然物体，如植物茎，也是具有有限数量的重复元素的分形。

另一类是动态（代数）分形，曼德布洛特集合属于它。这方面的第一次研究始于二十世纪初，与法国数学家加斯顿·朱莉娅和皮埃尔·法图的名字有关。1918年，茱莉亚出版了近两百页的关于复杂有理函数迭代的回忆录，描述了茱莉亚集合，这是一个与曼德布洛特集合密切相关的整个分形家族。这幅作品获得了法兰西学院的奖项，但它不包含一幅插图，因此无法欣赏所发现物品的美丽。尽管这项工作使茱莉亚在当时的数学家中声名鹊起，但它很快就被遗忘了。半个世纪后，随着计算机的出现，人们的注意力再次转向了它：正是它们使分形世界的丰富性和美丽可见。

分形维数

如您所知，几何图形的尺寸（尺寸数）是确定位于此图上的点的位置所需的坐标数。
例如，曲线上点的位置由一个坐标确定，在曲面（不一定是平面）上由两个坐标确定，在三维空间中由三个坐标确定。

从更一般的数学角度来看，可以通过以下方式确定维度：线性维度的增加，例如，两次，对于一维（从拓扑角度来看）对象（段）导致大小（长度）增加两倍，对于二维（正方形）相同的线性维度增加导致大小（面积）增加4倍，对于三维（立方体）增加8倍。也就是说，“实”（所谓的豪斯多夫）维数可以计算为物体“大小”增加的对数与其线性大小增加的对数之比。也就是说，对于段 D=log（2）/log（2）=1，对于平面 D=log（4）/log（2）=2，对于卷 D=log（8）/log（2）=3。

现在让我们计算科赫曲线的维数，对于该曲线的构造，单个段被分成三个相等的部分，并被一个没有该段的等边三角形所取代。当最小段的线性尺寸三倍时，科赫曲线的长度在对数（4）/对数（3）~1.26中增加。也就是说，科赫曲线的维度是分数！

科学与艺术

1982年，曼德布洛特的著作《自然分形几何》出版，作者在书中收集并系统化了当时几乎所有关于分形的信息，并以一种简单易懂的方式呈现出来。曼德布洛特在他的演讲中主要强调的不是重公式和数学结构，而是读者的几何直觉。由于在计算机的帮助下获得的插图和历史故事，作者巧妙地稀释了专著的科学成分，这本书成为畅销书，分形为公众所知。他们在非数学家中的成功很大程度上是由于这样一个事实，即在高中生能够理解的非常简单的结构和公式的帮助下，可以获得惊人的复杂性和美感的图像。当个人电脑变得相当强大时，艺术甚至有一个完整的方向 - 分形绘画，几乎任何电脑所有者都可以做到这一点。现在在互联网上，您可以轻松找到许多专门讨论此主题的网站。

构造科赫分形所需的操作序列

战争与和平

如上所述，具有分形性质的自然对象之一是海岸线。有了这个，或者更确切地说，试图测量它的长度，有一个有趣的故事构成了曼德布洛特科学文章的基础，并且在他的书“自然的分形几何”中也有描述。

我们正在谈论刘易斯·理查森（Lewis Richardson）进行的一项实验，他是一位非常有才华和古怪的数学家，物理学家和气象学家。他的研究方向之一是试图找到两国之间武装冲突的原因和可能性的数学描述。看起来，分形与此有什么关系？

但科学家考虑的参数之一是两个交战国共同边界的长度。当他收集数值实验数据时，他发现在不同的来源中，西班牙和葡萄牙共同边界的数据非常不同。这促使他做出以下发现：该国边界的长度取决于我们用来测量它们的统治者。规模越小，获得的边界越长，这是因为随着更大的增加，有可能考虑越来越多的银行的新弯曲，这些弯曲以前由于测量的粗糙而被忽略。而且，如果每次缩放时，以前无法解释的线条弯曲被打开，那么事实证明边界的长度是无限的！就像数学分形一样。然而，这实际上并没有发生 - 我们测量的准确性有一个有限的限制。这个悖论被称为理查森效应。

几何分形的示例说明了如何将多个重复元素同时组合到一个对象中

构造（几何）分形

构造构造构造分形的算法通常如下。首先，我们需要两个合适的几何形状，我们称它们为基础和碎片。在第一阶段，描绘了未来分形的基础。然后用适当比例的片段替换其某些部件 - 这是构造的第一次迭代。然后，在得到的图中，一些部分再次被更改为类似于片段的形状，等等，如果你无限期地继续这个过程，那么在极限中你将得到一个分形。

以科赫曲线为例考虑这一过程。任何曲线都可以作为科赫曲线的基础（对于“科赫雪花”，它是一个三角形）。但是我们将把自己限制在最简单的情况，即细分市场。碎片已损坏，描绘在图片的顶部。在算法的第一次迭代之后，在这种情况下，原始片段将与片段重合，然后其每个组成片段本身将被一个破碎的片段状片段所取代，依此类推，该图显示了此过程的前四个步骤。

分形甚至可以在植物中找到。例如，它是罗曼尼斯科属卷心菜的果实

用数学语言来说：动态（代数）分形

这种类型的分形出现在非线性动力系统的研究中（因此得名）。这种系统的行为可以用复杂的非线性函数（多项式）f（z）来描述。让我们在复平面上取一些起点 z0（参见侧边栏）。现在考虑复平面上这样一个无限的数字序列，每个数字序列都是从前一个序列获得的：z0， z1 = f （z0）， z2 = f （z1）， ...锌+1=f （锌）.根据起始点z0，这样的序列可以表现不同：在n -> ∞处趋向于无穷大;收敛到某个端点;周期性地取一系列固定值;更复杂的选项是可能的。

复数

复数是由实数和虚数两部分组成的数，即 x + iy 的形式和（这里的 x 和 y 是实数）。i是所谓的虚数单位，即满足方程 i^2 = -1 的数字。在复数上，定义了主要的数学运算 - 加法，乘法，除法，减法（仅未定义比较运算）。为了显示复数，通常使用几何表示 - 在平面上（称为复数），实际部分沿横坐标轴沉积，虚部沿纵坐标沉积，而具有笛卡尔x和y坐标的点将对应于复数。

因此，复平面的任何点 z 在函数 f （z） 的迭代中都有自己的行为模式，并且整个平面被划分为多个部分。同时，位于这些部分边界上的点具有以下性质：在任意小的位移下，它们的行为性质会发生巨大变化（这些点称为分岔点）。因此，事实证明，具有一种特定行为类型的点集以及分岔点集通常具有分形属性。这些是函数 f（z） 的朱莉娅集。

龙族

通过改变基数和片段，您可以获得各种建设性分形。

此外，类似的操作可以在三维空间中执行。体积分形的例子是“门格尔海绵”，“谢尔平斯基金字塔”等。

建设性分形包括龙家族。有时，它们被发现者称为“嘿嘿哈特龙”（在它们的形式上它们类似于中国龙）。有几种方法可以构造此曲线。其中最简单和最直观的是：您需要取一条足够长的纸条（纸张越薄越好），然后将其弯曲成两半。然后再次将其弯曲到一半，方向与第一次相同。经过几次重复（通常在五到六次折叠后，条带变得太厚而无法轻轻地进一步弯曲），您需要将条带拉直，并尝试在褶皱处形成90°的角度。然后在配置文件中，您将获得龙曲线。当然，这只是一个近似值，就像我们所有描绘分形物体的尝试一样。计算机允许您描绘此过程的更多步骤，结果是一个非常美丽的图形。

曼德布洛特集合的构造略有不同。考虑函数 fc （z） = z^2+c，其中 c 是一个复数。让我们用z0= 0构建这个函数的序列，这取决于它的参数可以发散到无穷大或保持有限。在这种情况下，此序列受限制的所有值 c 都形成曼德布洛特集合。曼德布洛特本人和其他数学家详细研究了它，他们发现了这个集合的许多有趣的性质。

可以看出，茱莉亚和曼德布洛特集合的定义是相似的。事实上，这两套是密切相关的。也就是说，曼德布洛特集合是一个复杂参数 c 的所有值，Julia 集合 fc （z） 连接到该参数 c（如果该集合不能被分成两个不相交的部分，则称为连接，但有一些附加条件）。

分形和生命

如今，分形理论被广泛应用于人类活动的各个领域。除了用于研究的纯科学对象和已经提到的分形绘画之外，分形在信息理论中还用于压缩图形数据（这里主要使用分形的自相似性的属性 - 毕竟，记住绘图和变换的一小片段，您可以使用它获得其余部分，比存储整个文件所需的内存要少得多）。通过在指定分形的公式中添加随机扰动，可以获得随机分形，这些分形非常合理地传达了一些真实对象 - 浮雕元素，水体表面，一些植物，这些对象成功地用于物理，地理和计算机图形学，以实现模拟对象与真实对象的更大相似性。在无线电电子学中，生产的天线具有分形形状。它们占用空间很小，可提供相当高质量的信号接收。经济学家使用分形来描述货币波动曲线（这个属性是由曼德布洛特发现的）。有了这个，我们将完成这个小短途旅行，进入分形世界的惊人美丽和多样性。