算术基本定理用数学的语言表示就是:每个大于1的正整数 都能以唯一的方式表示成质数幂的乘积，其中 p₁。第 3 步的解释基于欧几里得引理，在这里的情况下，p₁ 是 n 的一个素数因子，并且 n 也等于 q₁q₂…
它们是:17+2549， 23+2543， 89+2477， 107+2459， 149+2417， 167+2399， 173+2393， 227+2339， 233+2333， 257+2309， 269+2297， 293+2273， 353+2213， 359+2207， 467+2099， 479+2087， 503+2063， 563+2003， 569+1997， 587+1979， 593+1973， 617+1949， 653+1913， 659+1907， 677+1889， 719+1847， 743+1823， 857+1709， 929+1637， 947+1619， 953+1613， 983+1583， 1013+1553， 1193+1373， 1259+1307， 1277+1289， 1283+1283。
要理解裴蜀定理，需要分几个步骤。这一步很好理解。（a1,a2）= d2表示d2是a1、a2的最大公约数，d也是公约数，但不是最大，所以d2可以被d整除，其它也一样。比如（4，8，12），最大公约数是4，但2也是它们的非最大公约数。
欧拉函数是数论中最常用的函数之一：比如φ(8)=1,3,5,7，也就是与8互素的4个数字。以上是与欧拉函数有关的两个定理，很好理解。以上定理是欧拉函数的应用。因为任何整数都可以进行素因子分解，比如72=2^3*3^2，所以有以上结论。
在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数的定理。裴蜀指法国数学家艾蒂安.裴蜀。裴蜀定理说明了对任何整数a、b的最大公约数d，与变量x和y的不定方程之间的解的关系。若a，b是整数，且最大公约数gcd（a，b）=d。那么对于任意的整数x，y，ax+by都一定是d的倍数。
那个时代的数学家， 特别是数论学家， 是很舒服的， 因为他们面临的竞争是如此之少. 但对微积分而言， 即使在Fermat时代， 情形也有所不同， 因为今天使我们许多人受到干扰的东西也困扰过当时的数学家. 然而有趣的是， Fermat在整个17世纪期间， 在数论方面可以说一直是十分孤独的， Euler在下一世纪大部分时间也是如此. 后来来了个Legendre， 然后又出了个Gauss， 但Gauss已经是19世纪的人了， 所以应该属于近代的范畴. 值得注意的是， 在这样一个长时间段中， 事物的发展是如此缓慢而从容， 人们有充分的时间去考虑大问题而不必担心他的同伴可能捷足先登. 在那个时候， 人们可以在极其和平宁静的气氛中研究数论， 而且说实在的， 也过于宁静了. Euler和Fermat都抱怨过他们在这个领域中太孤单了. 我再说一次， 这与微积分的情况非常不同， Fermat对此也有决定性的贡献. 在数论中， Fermat是孤单的， 这也是他没有将他的成果及时写出来的原因之一. 有一段时间他试图吸引Pascal对数论产生兴趣并一起合作， 但是Pascal不是搞数论的料， 当时身体又不好， 后来他对宗教的兴趣超过了数学， 所以Fermat没有把他的东西好好写出来， 从而只好留给了Euler这样的人来破译。
