拓扑和几何是数学领域中图形最美的板块，我们最熟悉的莫比乌斯带，就是拓扑和几何学中典型代表。1982年德国数学家、几何学家、教育学家克莱因在莫比乌斯带的基础上继续拓展及延伸，将莫比乌斯带两个边粘在一起就形成了叫克莱因瓶。
当我们俯瞰自然界的万象，我们可以看到一个多彩的、复杂的世界，其中的形状、结构和模式无比细腻。在这个令人感到奇妙的宇宙中，拓扑学以其特殊的方式照亮了我们对形状和空间的理解。拓扑学，这个看似陌生而冷冰冰的词汇，其实涵盖了美丽和谜团的蕴意。
在过去的两年中，数学家们专注于发现各种简单形状的最理想表现形式，探索在特定限制条件下能最有效实现既定目标的形状，即“最优”形状。这个概念涉及在给定的约束（如空间大小或材料限制）下，找出最具效益或效率的几何形状。自然界中蜜蜂建造的六角形蜂巢是一个典型例子，展示了这一原理。
字典或词典里给出“拓扑学”的意思是指对不受形状或大小变化影响的几何图形或固体物体性质的研究。在数学上，拓扑是一个非常抽象的概念，有严格的定义。本文将从简单的例子出发，力争把“拓扑”这两个字讲清楚，错误在所难免，肯请多多批评指正。
数论人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数（现在的数学课本里已经把0归入自然数了），而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们和起来叫做整数。
为了让拓扑学具备数学的精确性，你需要再制定一些规则，例如切割、黏合、把一个有限区域“挤压”成一个没有维度的点，或者允许这个橡皮曲面可以像雾一样穿过自身，这些规则在不同的应用中略有不同。“拓扑”这个词最早是哥廷根数学家约翰·利斯廷在 19 世纪 40 年代使用的。
