今天我们用三种不同的方法来证明√2是无理数。我们知道在实数范围内，除了有理数就是无理数。也就是说，有理数集Q和无理数集的交集是空集∅，并集是实数集R。有理数是指有限小数或无限循环小数，这里将整数视为有限小数。有理数都可以写成既约整分数的形式，这里将整数视为分母为1的分数。
注意到当 x 大于 1 时，函数 f = xx 是连续单调递增的，因而对于所有 里的有理数 r ，一定存在唯一的 a ，使得 aa = r 。既然 mn 是等于 bm 的，它们一定含有相同数量的质因数 p ，因而 i·n = j·m ，可知 m 是 i·n 的约数。
这许多“数”，有一个总名字：有理数。有理数有一个特殊性质：有理数加有理数还是有理数，有理数减有理数还是有理数，有理数乘有理数还是有理数。也就是说，有理数遇到另一个有理数，不论加减乘，结果都是有理数。那么有理数除有理数呢？只有一种结果不是有理数，那就是除以0。总之，有理数本身，对加
